1.对于数学而言，集合论是逻辑基础。因此可以说，迟早要引入集合，问题是在什么地方引入集合比较好。
我觉得自然数就是个好地方。我们拿来一个集合，肯定不只是把它当作一个静止的东西来研究，我们要用他研究矛盾和运动。数学上就常常要在集合上定义运算（自然数集-加法与乘法、整数集-加减乘、有理数集-加减乘除、实数集-加减乘除与极限运算…）。集合的元素有差别，也应该有互相转化，我们所要研究的某种特定的相互转化，就是我们要定义的运算。
集合就是归类，那么按照什么原则归类最好呢？最常见的依据就是运算的封闭性。自然数相加，结果还是自然数，但是不做限制地做减法可能有负数，就会出现结果不在我们的集合里面的情况。然后我们扩大集合包含负数，得到整数集，整数集的元素之间任意加减相乘得到的都是整数，就能保证封闭性了。但要研究除法，就要研究除不开的情况，这样就要再次扩大集合容纳有理数了。集合对于运算封闭，就是说我们的集合足够大，足够描述一些东西的互相转化而没有漏掉什么。
这一方面最好的例子就是从自然数集到实数集合的不断扩大的过程，在这儿应该是为了后面引入有理数之类的东西埋了个伏笔吧。
补充1：当然，对于某种运算封闭的集合并不唯一，比方说对于加减乘封闭的不只有整数集Z，还可以依靠整数集合构造{x|x=m+n√2, m,n∈Z}，这个集合之间的元素进行加减和乘法之后得到的还是一个整数加上一个整数倍根号二的数，因此还是属于这个集合。类似地，{x|x=m+n√2+k√3+j√6, m,n,k,j∈Z}也行。
2.有的时候数学确实要严谨一些，验证一下所定义的减法真的是我们平时用的那种。这种操作我一般理解为检验定义下得对不对。
我倒是不认为这是纯思辨，当我们要定义一种复杂的新运算来处理新的问题时，保险起见检查一下是必要的。
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赫伯提_布
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1.因为数学是研究数量关系的科学，事物的质和量是统一的，离开了质就不能谈量，所以就更不能谈量变和数量关系了。客观上有分门别类，才会有集合的概念，集合就是用于描述有同一数量关系的事物。但是不同类的事物有时候也是有联系的，比如说橘子和苹果，可以说是两类事物，但是又是联系的，有共性的，联系就在于这两者都是水果。此外，还有两类食物有交叉的，比如说西红柿即是水果又是蔬菜。这些反映到集合上就是属于和被属于、包含和被包含、交集和并集等等的关系。我是觉得，引入集合论，就是引入形式逻辑。
2.证明本身只是一种演绎的结果，思维不能证明正确，只有实践才能。事实上就是，一个事物减去了一部分，它的某些量就会确定的减少（这里指的是外延量，像是体积、质量等等）。那么，定义的运算就要符合这个事实，思维上的证明，实质就是看看根据定义的演绎是不是符合客观的，这才是唯物主义。
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你的第二个问题里的那些问题，为什么要证明两数相减结果唯一、加法交换律和结合律等等，其实这些个问题不应该从“证明”这些东西的角度出发，而是要“定义”，先给出数学上的自然数的严谨的定义，然后定义加法，再定义减法和整数，接着定义乘除法和有理数，最后定义实数。对自然数如果只停留在朴素的认知上，这些问题都只能用“显而易见”说过去而没法证明。知乎上有一篇文章《什么是实数？如何从无到有构造出实数？》
钱仁零
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这就是典型的先验论，你怎么先知道交换律和结合律呢？我记得上高中时第一本教材里讲到这个集合的时候老九就证明了这个定律。不知道你是听了还是没讲。
本来在小学讲到方程式的时候就说过，如果说天平两边先放上A，再放上B，另一边不管是先放上A再放上B或者是先放上B再放上A，天平还是平衡的，所以抽象一下，在数学中等式两边a加b等于b加a。后来因为生产的发展，要求对于数学的研究更近一步，所以为了人们方便使用或者是为了综合以前的知识或者别的什么，就把这个办法取了一个名字，叫加法交换律。当然同样的结合律也是如此。
这涉及到数论的知识，因为高中本来就不深挖关于数这个东西，这还是大学的内容，叫数论。高中最多在算负数的除法求它的余数的时候讲到这一点。
这一点让我想起来杜林，觉得有了几个数就可以脱离生产的就去得出更高级的知识，实际上这也不可能。微积分虽然说是在前人的基础之上得出来的，但是看它的发明人莱布尼茨和牛顿，生活在工业革命时代，当时社会生产力要求数学提高到一定的高度。而不是先验的说什么“先定义再算”。至于你说的那篇文章，《什么是实数？如何从无到有构造出实数？》，里面第一句话就是“饭要一口一口的吃，要构造实数还得先构造出自然数，整数，以及有理数。”
ta这么说是什么意思呢？就是说在有了大环境的情况下怎么通过小环境推导出大环境。具体方法是在知道了微积分之后，怎么通过集合论推导出种种，推导出微积分。也就是逻辑学中的小范围推出大范围，这在数学领域中行的通。
但是你本末倒置了，以为在数学领域中的东西可以拿到政治经济学上面。以为要“定义”才能有。
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我又看了一眼层主的问题，我确实说得有问题，楼主问的不是如何证明，而是“证明的意义是什么”。你说的“以为在数学领域中的东西可以拿到政治经济学上面”，但我没看出来楼主问的跟政治经济学有什么关系。
你说我是“先验论”，但这个我看不出来有什么先验论。怎么先知道的交换律和结合律，当然是从实践中得来的，难道是天生就知道的吗？两个苹果加三个苹果和三个苹果加两个苹果都是五个。但是要在数学范围内严格地证明这些定律，还是得从现实中抽象总结出一个数学模型，要先用逻辑的语言定义自然数，然后一步一步定义整数、有理数、实数。你用天平两边先放那边没有区别“证明”交换律，但是这其实就是我开始说的“显而易见”，逻辑并不严谨。不严谨在哪？对于数苹果来说，当然没问题，但是今天人类的科技早已不止于“数苹果”，如果要进行极其复杂的运算，则不得不确保简单运算的正确性。随着生产力不断进步，数学响应科技的需求也不断进步，最后由于数学体系的发展壮大，终于有人想起来要回过头去给“数”下一个严谨的定义，这样就更加确保了数学大厦的根基是稳固的。曾经数学界认为“连续函数一定几乎处处可导”，但一直没有证明，直到魏尔斯特拉斯函数被构造出来才证明了这个命题的错误性。所以，在研究很简单的问题时，是可以用“天平”和“苹果”证明减法结果唯一性、加法交换律和结合律的，但是当随着生产力的发展，数学研究的问题变得极其复杂时，对数给出严格定义就是有必要的。
那回过头去回答层主的问题：证明这些的意义在哪？在刚才那段里已经包含了，就是从逻辑上使得数学的体系更为正确严谨了。
Hughes
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popcorn把形式逻辑上的严密性，说得抽象化、绝对化，把数学说成是什么脱离了认识发展的现实基础的学科，实际上就是坚持形而上学的立场。
popcorn虽然说“怎么先知道的交换律和结合律，当然是从实践中得来的”，但是又把严格证明的意义说成是一种脱离实践、独立自足的逻辑建构，完全是割裂了实践与认识的辩证统一关系。一个理论正确与否，就要看它是否符合客观世界的规律。“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践，这就是认识真理、认识客观实在的辩证途径。”（列宁《哲学笔记》）。数学中的交换律最初正是在人类反复的计数和生产实践中被把握，其“正确性”首先体现在实践的可靠性之中，而不是等待形式化体系的证明之后才成立。把“只有经过公理化证明才算真正成立”当作判断标准，实际上是把认识发展的形式当成了前提，把历史过程静止化、绝对化，实际上是宣扬形而上学的观念。
popcorn说“最后由于数学体系的发展壮大，终于有人想起来要回过头去给“数”下一个严谨的定义，这样就更加确保了数学大厦的根基是稳固的”。实际上这是把“简单情形下的直观正确”与“复杂科学中的严格性要求”对立起来，仿佛后者否定前者，这同样违背了辩证法中量变与质变统一的原理。事实上，正如恩格斯在《自然辩证法》中所强调的，科学的发展是从经验材料中逐步上升到理论体系的过程，后来的形式化并不是对原有实践真理的“补救”，而是对其更高层次的概括和巩固。因此，说“必须通过严格定义才能确保简单运算正确”，实际上颠倒了因果关系：恰恰是因为这些运算在长期实践中被证明可靠，人们才有可能、也才有必要去进行更高层次的抽象与形式化。
popcorn说：“曾经数学界认为“连续函数一定几乎处处可导”，但一直没有证明，直到魏尔斯特拉斯函数被构造出来才证明了这个命题的错误性。”这种说法把“数学界曾经普遍相信某命题为真”与“该命题已经成为严格理论结论”混为一谈，所谓“连续函数一定几乎处处可导”，在19世纪早期更多是一种基于具体函数经验（如多项式、初等函数）的归纳性直观判断，而并非经过严格证明的定理，因此根本不存在“后来才被证明错误”的问题。魏尔斯特拉斯函数并不是“推翻了一个已被证明的命题”，而是通过理论构造揭示了原先经验概括的局限性，把人们的认识推进到更深层次的方面。恩格斯也早在《自然辩证法》中指出，科学认识的发展并不是简单的“证明—否定”关系，而是通过不断暴露旧认识的片面性，实现从低级到高级、从不完全到更完全的飞跃。随着研究对象复杂化，原有概念（如“连续”“函数”）中隐含的矛盾逐渐显露，正体现了辩证法中矛盾推动认识发展的规律。觉得维尔斯特拉斯函数“证明了这个命题的错误性”，是一种静态的、形式主义的理解，这实际上是通过揭露旧概念的局限，使得认识“不断接近于客观真理”。
而且popcorn上面这些话里，把数学发展完全归结为内部逻辑的需要，而忽视了真正推动数学以及其他学科发展的，是生产力的发展需要，而真正推动社会发展的则是劳动人民。
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你这句话是狭隘的经验主义，不承认感性认识有待于发展为理性认识，片面强调实践的经验的重要性，忽视理性分析对于推动认知的作用，而且把我对于直接从有限的实践（显然不可能是无限的全面的）中总结来的知识是否一定正确的怀疑歪曲为了我认为这种知识不来自于实践。而且这篇文章定义自然数时，1就是数的基本单位，没有小于1的长度的概念，这种定义是完全符合“一个一个数(上声)”的人类最开始对数的朴素认知的；定义整数时，用两个自然数的差值定义，也是符合人类认知发展的规律的，就是在做减法运算时才产生了定义负数的需要；之后每一步的定义也反映了某个时期内人类的实践及与其相适应的对数的认知。综上，这不是唯心先验论
钱仁零
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请问我们虽然说了那么多，你看了我们给你说的话没有？以及请问你看到这些话你是怎么想的？